Twijfelen aan de Werkelijkheid (20b)
Deze appendix wordt een ritje met een paar formules. De alfa’s mogen nu uitstappen. Is iedereen die nog meewil er klaar voor? Riemen vast, daar gaan we.
Met Elon Musk naar Mars, zonder de alfa’s
Hier is nogmaals de GSP (Gegeneraliseerde Stelling van Pythagoras) waar we het hier over hadden:
\[ s^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2 - c^2(t - t')^2.\]
Hierbij zijn \((x,y,z,t)\) en \((x',y',z',t')\) twee gebeurtenissen in de ruimtetijd, en \(s^2\) is het kwadraat van de afstand tussen die gebeurtenissen. \(c^2\) is het kwadraat van de lichtsnelheid.
Laten we de notatie even stroomlijnen. In plaats van \(x - x'\) schrijven we \(\Delta x\), voor “verandering (of afstand) in de \(x\)-richting”, en net zo voor de andere coördinaten. We spreken af dat we alleen kijken naar verandering van positie in de \(x\)-richting, zodat we de \(y\) en \(z\) coördinaten buiten beschouwing kunnen laten. Dit geeft:
\[ s^2 = \Delta x^2 - c^2 \Delta t^2.\]
Bekijk nu een ander coördinatenstelsel dat ten opzichte van het \(xyzt\) stelsel eenparig rechtlijnig beweegt. In dat stelsel is Elon Musk onderweg naar Mars met zijn miljardairsclub. Zijn standpunt innemen betekent: de wereld bekijken vanuit een coordinatenstelsel \(x'y'z't'\) waarin Elon stilstaat en de aarde van hem af beweegt. Oriënteer de stelsels zo ten opzichte van elkaar dat de \(x\) as samenvalt met de \(x'\) as. De andere twee ruimte-assen doen er niet toe omdat we alleen kijken naar verandering in de \(x\) richting (die is dus hetzelfde als de \(x'\) richting).
De GSP en relativiteit
Dan hebben we wegens relativiteit, dat wil zeggen invariantie voor eenparig rechtlijnige beweging, nog steeds met de GSP:
\[ s^2 = \Delta x^2 - c^2 \Delta t^2 = \Delta x'^2 - c^2 \Delta t'^2.\]
Als je aanneemt dat Elon Musk ten opzichte van ons beweegt in de \(x\) richting met snelheid \(v\), dan zien we dat \(\Delta x\), de verandering in de \(x\) richting, wordt gegeven door \(v \Delta t\), het product van Elon’s snelheid \(v\) en het tijdsverloop \(\Delta t\) in ons stelsel. \(\Delta x'\) is gelijk aan \(0\), want gezien vanuit zijn eigen stelsel staat Elon stil. Dit geeft:
\[\Delta x^2 - c^2 \Delta t^2 = - c^2 \Delta t'^2.\]
Omdraaien en beide zijden met \(-1\) vermenigvuldigen:
\[c^2\Delta t'^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2.\]
Elon’s tijd gaat langzamer, vanuit ons gezien
Vanuit ons gezien gaat Elon’s tijd langzamer, en we kunnen zelfs precies zien hoeveel. Invullen van \(v \Delta t\) voor \(\Delta x\) en beide zijden door \(c^2\) delen geeft:
\[\Delta t'^2 = \Delta t^2 - \frac{v^2}{c^2} \Delta t^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})\Delta t^2. \]
Worteltrekken:
\[\Delta t' = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \Delta t.\]
Bij snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid merk je die tijdverkorting niet. Maar we hebben eerder afgesproken dat we Elon en zijn miljardairs weg zouden sturen met de halve lichtsnelheid. En dan merk je het verschil wel degelijk, want dan wordt \(\frac{v^2}{c^2}\) gelijk aan \(\frac{1}{4}\), en verloopt er gedurende onze seconde voor Elon en zijn vrienden maar \(\sqrt{\frac{3}{4}}\) seconde, dat wil zeggen (met de rekenmachine) \(0,8660254037844386\) seconde. Let wel, we kijken hiervoor op onze klok. Dit betekent trouwens dat vanuit ons gezien er ook afstandverkorting plaatsvindt. Neem aan dat Elon’s meetlat een lichtseconde lang is. Dan krimpt die meetlat tot \(0,8660254037844386\) lichtseconde.
Onze tijd gaat langzamer, vanuit Elon gezien
Maar het principe van relativiteit houdt in dat we de zaak ook vanuit Elon kunnen bekijken. En dan zien we: vanuit Elon gezien gaat onze tijd juist langzamer en worden onze meetlatten korter. Vanuit hem gezien krimpt onze seconde tot \(0,8660254037844386\) seconde en krimpt onze lichtseconde tot \(0,8660254037844386\) lichtseconde.